Question

（1）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，                AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；

（2）交换（1）中的条件与结论，得到（1）的一个逆命题：

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，E                   是BC上一点，AE与CD相交于点F，若∠CFE=∠CEF，则∠CAE=∠BAE．你认为这个问题是真命题还是假命题？若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠ACD=∠B（2分）；∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAE（3分）；∵∠CFE=

∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∴∠CFE=∠CEF（5分）；

（2）真命题（6分）.证明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠CAB=90°，

∠B+∠CAB=90°，∴∠ACD=∠B（8分）；∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=

∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF，∴∠CAE=∠BAE，即AE是角平分线（10分）．