已知抛物线y=ax2+bx+3经过A两点.顶点为M．(1)a.b的值,(2)设抛物线与y轴的交点为Q.直线y=-2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移.保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时.Q点移至N点.求抛物线上的两点M.Q间所夹的曲线MQ扫过的区域的面积,(3)设直线y=-2x+9与y轴交于点C.与直线OM交于点D．现将抛物线平移.保持顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点（如图1），顶点为M．

（1）a、b的值；
（2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1），直线y=-2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线

扫过的区域的面积；
（3）设直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D（如图2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．

考点：二次函数综合题

专题：计算题,代数几何综合题,压轴题,数形结合,分类讨论

分析：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
（2）连接MQ、DN后，由图可以发现

扫过的面积正好是?MQND的面积；连接QD，则?MQND的面积是两倍的△MQD的面积，所以这道题实际求的是△MQD的面积；由（1）的抛物线解析式，不难求出顶点M的坐标，联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标；以OQ为底，M、D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积，则此题可求．
（3）在平移过程中，抛物线的开口方向和大小是不变的，即二次项系数不变；抛物线的顶点始终在直线OM上，根据直线OM的解析式（y=

x）可表达出抛物线顶点的坐标（h，

h），可据此先设出平移后的抛物线解析式；若求平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时顶点横坐标的取值范围，那么就要考虑到两个关键位置：
①抛物线对称轴右侧部分经过C点时，抛物线顶点横坐标h的值（设此时h=α）；
②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时，h的值（设此时h=β）；
那么，符合条件的抛物线顶点横坐标的取值范围可表达为：h＜α或h＞β．

解答：解：（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax²+bx+3中，得：

9a-3b+3=0

a-b+3=0

，
解得：a=1、b=4．

（2）连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QN

∥

MD，即四边形MQND是平行四边形；
由（1）知，抛物线的解析式：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，则点M（-2，-1）、Q（0，3）；
则，直线OM：y=

x，联立直线y=-2x+9，得：

y=-2x+9

，
解得

．
则D（

，

）；
曲线

扫过的区域的面积：S=S_?MQND=2S_△MQD=2×

×OQ×|x_M-x_D|=3×|-2-

．

（3）由于抛物线的顶点始终在y=

x上，可设其坐标为（h，

h），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h）²+

h；
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有：
h²+

h=9，解得：h=

-1-

145

（依题意，舍去正值）
②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：

y=-2x+9

y=(x-h)2+

，
消去y，得：x²-（2h-2）x+h²+

h-9=0，
则：△=（2h-2）²-4（h²+

h-9）=-10h+40=0，解得：h=4
结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，h＜

-1-

145

或h＞4．

点评：该题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的平移及其性质、函数图象交点坐标的求法等重点知识；（2）题中，要通过观察图形找出曲线扫过的面积和平行四边形的面积之间的联系；最后一题中，要注意“射线CD”这个条件．

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