Question

【题目】（问题引领）

问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结CG，先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是 ．

（探究思考）

问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ECF=∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．

（拓展延伸）

问题3：如图3，在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，若BE=2，DF=8，求EF的长（请直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）问题1中结论仍然成立,理由见解析；（3）6.

【解析】

由△CEF≌△CGF可知CE=CG，由∠ECF=60°，∠BCD=120°可证∠FCG=60°，从而可知△ECF≌△FCG，得出EF=GF，从而得出EF=BE+DF；同理可得出（2）（3）答案

（1）EF=BE+DF，理由：

延长FD到点G,使DG=BE,连接CG，

在△CBE与△CDG中

∴△CBE≌△CDG（SAS），

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∵∠BCD=120°，

∴∠ECG=120°

∵∠ECF=60°，

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE

（2）解：问题1中结论仍然成立,如图,

理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠GDC,在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵∠ECF=∠BCD

∴∠ECF=∠ECG

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE

（3）EF=6，因为此时DF=EF+BE；理由：如图3，

延长FD到点G，使DG=BE，连接CG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠GDC，在△CBE和△CDG中∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵∠ECF=∠BCD

∴∠ECF=∠ECG

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE