Question

18．如图1在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，∠0AB=30°，动点P从点O开始沿OA以2$\sqrt{3}$cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t秒（s）（0＜t＜6）
（1）求出线段AB、OA的长度；
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，若PM与⊙O′相切，求出相应t的值；
（3）写出△PRQ的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出相应的t值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，已知了OB=12cm，∠0AB=30°，即可求出线段AB、OA的长度；
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
（3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；
（4）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：
①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；
②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；
③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．

解答 解：（1）在Rt△AOB中：∵OB=12cm，∠0AB=30°，
∴AB=2×12=24（cm），
∴AO=12$\sqrt{3}$cm；

（2）如图1，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
在Rt△PMO′和Rt△POO′中
∵$\left\{\begin{array}{l}{PO′=PO′}\\{OO′=O′M}\end{array}\right.$
∴Rt△PMO′≌Rt△POO′（HL）．
∵∠0AB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6$\sqrt{3}$．
又∵OP=2$\sqrt{3}$t，
∴2$\sqrt{3}$t=6$\sqrt{3}$，
解得：t=3．
即：t=3时，PM与⊙O′相切．

（3）如图1，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=$\frac{1}{2}$AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴OE=OA-AE=12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t．
∴Q点的坐标为（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=$\frac{1}{2}$×12×12$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$t×（12-2t）-$\frac{1}{2}$（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）×2t-$\frac{1}{2}$×2t×（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）
=6$\sqrt{3}$t²-36$\sqrt{3}$t+72$\sqrt{3}$
=6$\sqrt{3}$（t-3）²+18$\sqrt{3}$． （0＜t＜6）
当t=3时，S_△PQR最小=18$\sqrt{3}$；

（4）分三种情况：如图2，
①当AP=AQ₁=4t时，
∵OP+AP=12$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$t+4t=12$\sqrt{3}$．
解得：t=12$\sqrt{3}$-18；

②当PQ₂=AQ₂=4t时，
过Q₂点作Q₂E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ₂•cosA=4$\sqrt{3}$t，
即2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$t=12$\sqrt{3}$，
解得：t=2；
③当PA=PQ₃时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=12$\sqrt{3}$-18时，△APQ是等腰三角形．

点评 此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（4）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．