Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，AD∥BC，则∠ABC=

45°

；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAM=60°，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．

Answer 1

分析：（1）先由AD∥BC可以得出∠DAB+∠ABC=180°，由AC=BC可以得出∠ABC=∠BAC，就可以求得结论；
（2）如图2，在AM上截取AE=AB，连接BE和CE．可以得出△EAC≌△BAD，就有CE=BD，在△EBC中由勾股定理就可以求出CE即可求出结论．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC．
∵∠DAC=2∠ABC，
∴2∠ABC+2∠ABC=180°，
∴∠ABC=45°

（2）如图2，在AM上截取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAM=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAM+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
在△EAC和△BAD中

AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD

，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
故答案为：45°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时根据三角形全等转化线段求线段的长是难点．