Question

如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A₁B₁C₁．

（1）将△ABC，△A₁B₁C₁如图②摆放，使点A₁与B重合，点B₁在AC边的延长线上，连接CC₁交BB₁于点E．
①求证：四边形C₁B₁AB为梯形．
②若∠A=45°，∠ABC=30°，求∠B₁C₁C的度数
（2）若将△ABC，△A₁B₁C₁如图③摆放，使点B₁与B重合，点A₁在AC边的延长线上，连接CC₁交A₁B于点F．试判断∠A₁C₁C与∠A₁BC是否相等，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AC=3，B₁C₁=6，设A₁B=x，C₁F=y，写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①运用全等三角形的性质就可以得出∴∠A=∠2，BB₁=BA，BC₁=CA，∠3=∠4，就可以得出BC₁∥B₁A，就可以得出结论；
②由B₁C∥B₁A就可以得出四边形C₁CAB是平行四边形就可以得出∠B₁CC₁=∠A，在由三角形的内角和就可以求出结论；
（2）由全等三角形的性质就可以得出△BC₁C与△BA₁A是等腰三角形，且∠C₁BC=∠A₁BA，就可以求出∠3=∠C₁A₁B，就可以得出结论；
（3）通过∠A₁C₁C=∠A₁BC就可以得出∠BFC₁=∠BC₁A₁，就可以得出△BFC₁∽△BC₁A₁，就可以得出

C1F

C1A1

=

BC1

BA1

，进而就可以求出结论．

解答：解：（1）①证明：如图④∵△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴∠A=∠2，BB₁=BA，BC₁=CA，∠3=∠4，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2
∴B₁C∥B₁A
∵BC₁=CA
∴BC₁≠B₁A
∴四边形C₁B₁AB为梯形；
②∵∠A=45°，∠ABC=30°，
∴∠1=∠2=45°，∠4=30°．
∵BC₁∥B₁A，BC₁=AC，
∴四边形C₁CAB是平行四边形，
∴C₁C∥A₁A，
∴∠B₁CC₁=∠A=45°．
∵∠B₁CC₁+∠1+∠4+∠B₁C₁C=180°，
∴∠B₁C₁C=60°；
（2）结论是：∠A₁C₁C=∠A₁BC．
理由：∵△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴BC₁=BC，BA₁=BA，∠1=∠2，∠A=∠C₁A₁B．
∴∠1+∠4=∠2+∠4，∠3=∠5，∠A=∠C₁A₁B，
∴∠C₁BC=∠A₁BA．
∵∠C₁BC+2∠3=∠A₁BA+2∠A=180°，
∴∠3=∠A

∴∠3=∠C₁A₁B．
∵∠C₁FA₁=∠CFB
∴∠A₁C₁C=∠A₁BC；
（3）∵∠A₁C₁C=∠A₁BC，
∴∠A₁C₁C+∠5=∠A₁BC+∠3，
∴∠A₁C₁B=∠A₁BC+∠3．
∵∠BFC₁=∠A₁BC+∠3．
∴∠A₁C₁B=∠BFC₁．
∵∠2=∠2，
∴△BFC₁∽△BC₁A₁，
∴

C1F

C1A1

=

BC1

BA1

，
∴

y

3

=

6

x

，
∴y=

18

x

．

点评：本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，梯形的判定及性质的运用，解答时运用相似三角形的性质及全等三角形的性质求解是关键．