Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得待定系数的值，进而确定抛物线的解析式．
（2）①根据（1）题得到的抛物线解析式，易求得B、P的坐标，根据坐标系两点间的距离公式可求得CP、BC、BP的长，通过勾股定理的逆定理可证得△BCP是Rt△，且以C为直角顶点，若O′C′∥CP，那么O′必在线段BC上，所以旋转角即为∠OBC，根据B、C的坐标，易得∠OBC=∠OCB=45°，由此得解．
②此题应分两种情况考虑：
1）BC′与BP重合，此时O′为所求点．过O′作x轴的垂线，设垂足为D，在①中已证得∠CBO=∠C′BO′=45°，这两个等角同时减去∠CBO′后可得到∠PBC=∠O′BD，即可证得△PBC∽△O′BD，根据PC、BC的比例关系，可求得O′D、BD的比例关系，进而可由勾股定理和O′B（即OB）的长求出O′D、BD的长，即可得到点O′的坐标；
2）当BO′与BP重合时，C′为所求的点．可过B作直线BE⊥x轴，过C′作C′E⊥BE于E，按照1）的思路，可证△EBC′∽△CBP，同样能得到C′E、BE的比例关系，进而由勾股定理出这两条线段的长，即可得到点C′的坐标．

解答：解：（1）由题意得

- b 2a =1 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
所以，此抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）①如图，
顶点P为（1，4），CP=

12+12

=

2

，BC=

32+32

=3

2

，
BP=

22+42

=2

5

，
又因为CP²+BC²=PB²，
所以∠PCB=90°．
又因为O′C′∥CP，
所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°．
②如备用图1，
当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．
因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
则△DBO′∽△CBP，
所以

BD

BC

=

O′D

PC

，
所以

BD

3 2

=

O′D

2

，
所以BD=3O′D．
设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x²+（3x）²=3²，
解得x=

3

10

10

，
所以BD=

9

10

10

，
所以点O′的坐标为（3-

9

10

10

，

3

10

10

）．
如备用图2，
当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，
因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以

BE

BC

=

C′E

PC

，
所以

BE

3 2

=

C′E

2

，
所以BE=3C′E．
设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，
得y2+(3y)2=(3

2

)2，
解得y=

3

5

5

，
所以BE=

9

5

5

，
所以C′的坐标为（3+

3

5

5

，

9

5

5

）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、图象的旋转变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识．在（2）②中，能够通过辅助线正确的构建与所求相关的出相似三角形是解决问题的关键．