Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．

（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；

（2）填空：

①当旋转角α的度数为_____时，则DB'∥AE；

②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为_____．

Answer 1

【答案】（1）DB'＝EC'，证明详见解析；（2）①60°；②-1．

【解析】

（1）由旋转的性质可得∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，利用“SAS”可证明△ADB'≌△AEC'，可得DB'＝EC'；（2）由平行线的性质和直角三角形的性质可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，由等腰直角三角形的性质可得B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，由勾股定理可求EC'的长．

（1）DB'＝EC'，

理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，

∴AD＝AE，

由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，

∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE

∴△ADB'≌△AEC'（SAS），

∴DB′＝EC′，

（2）①∵DB′∥AE，

∴∠B'DA＝∠DAE＝90°，

∵AD＝AB，AB=AB'，

∴AD＝AB'，

∴∠AB'D＝30°，

∴∠DAB'＝60°，

∴旋转角α＝60°，

故答案为60°，

②如图，当点B'，D，E在一条直线上，

∵AD＝，

∴AB'＝2，

∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，

∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，

由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，

∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，

∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，

∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，

∴B'C'2＝B'E2+C'E2，

∴16＝（2+EC'）2+C'E2，

∴CE＝﹣1，

故答案为：﹣1．