Question

【题目】如图，中，，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的结论是（ ）

A.①②B.①③④C.①④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根据等角对等边可得DC＝DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF＝BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．

在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，

∵∠ADB＝2∠C，

∴∠C＝∠DBC，

∴DC＝DB，

∴△DBC是等腰三角形，故①正确；

无法说明∠C＝30°，故②错误；

连接PD，则S△BCD＝BDPE＋DCPF＝DCAB，

∴PE＋PF＝AB，故③正确；

过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，

则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，

∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形，

∴AF＝BG，

在△BPE和△BPG中，

，

∴△BPE≌△BPG（AAS），

∴BG＝BE，

∴AF＝BE，

在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝BP2，

即PE2＋AF2＝BP2，故④正确．

综上所述，正确的结论有①③④．

故选：B．