Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在线段AB上，过点P作y轴的平方线，交抛物线于点Q，当PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，把线段PA绕点P顺时针旋转90°，得线段PD，连接BD交直线PQ于点M，作MN⊥AB于N，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）先计算出AC=5，再证明CB=CA=5，则B（5，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$），则Q（x，-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4），所以PQ=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4-（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）作DH⊥PQ于H，PQ交x轴于E，如图，先计算出PA=2$\sqrt{5}$，再根据旋转的性质得∠APD=90°，PD=PA=2$\sqrt{5}$，接着通过△PDH≌△APE得到DH=PE=2，PH=AE=4，则D（-1，6），于是可利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{17}{3}$，则可确定M（1，$\frac{16}{3}$），再计算出BD=2$\sqrt{10}$，BM=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，然后证明△BMN∽△BDP，利用相似比计算MN的长．

解答 解：（1）∵A（-3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CB=CA=5，
∴B（5，4），
把A（-3，0）、C（0，4），B（5，4）代入y=ax²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=4}\\{25a+5b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{5}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；

（2）设AB的解析式为y=px+q，
把A（-3，0），B（5，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3p+q=0}\\{5p+q=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{2}}\\{q=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$），则Q（x，-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4），
∴PQ=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4-（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{6}$（x-1）²+$\frac{8}{3}$，
∴当x=1时，PQ的值最大，
此时P点坐标为（1，2）；

（3）作DH⊥PQ于H，PQ交x轴于E，如图，
PA=$\sqrt{（1+3）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵线段PA绕点P顺时针旋转90°，得线段PD，
∴∠APD=90°，PD=PA=2$\sqrt{5}$，
易得△PDH≌△APE，
∴DH=PE=2，PH=AE=4，
∴D（-1，6），
直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
当x=1时，y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{17}{3}$=$\frac{16}{3}$，则M（1，$\frac{16}{3}$），
BD=$\sqrt{（5+1）^{2}+（4-6）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BM=$\sqrt{（5-1）^{2}+（4-\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∵MN∥PD，
∴△BMN∽△BDP，
∴$\frac{MN}{DP}$=$\frac{BM}{BD}$，即$\frac{MN}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{10}}{3}}{2\sqrt{10}}$，
∴MN=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质．