Question

3．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，AC=8，BC=6，CD=5，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 作AE平行于BC交CD的延长线于E，首先证明△AED≌△BCD，可得AE=BC=5，ED=CD，再利用勾股定理逆定理可证明∠CAE=90°，再根据平行线的性质可得∠ACB=90°，从而证明△ABC是直角三角形．

解答 证明：作AE平行于BC交CD的延长线于E，
∵CD是边AB上的中线，
∴AD=BD，
∵AE∥CB，
∴∠B=∠EAB，
在△ADE和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠B}\\{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC=6，ED=CD=5，
∴EC=10，
∵AC=8，
∵6²+8²=10²，
∴△AEC是直角三角形．
∴∠CAE=90°，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=180°-∠CAE=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 此题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是正确画出辅助线，证明△AEC是直角三角形．