在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C(0.2).点A的坐标为.点B的坐标为(2.0).连接AC.BC．(1)求抛物线的解析式,(2)如图①.P是线段BC上一点.设△ABP.△APC的面积分别为S△ABP.S△APC.S△ABP:S△APC=3:2．若此时以P为圆心的圆与x轴相切.求该圆的半径,(3)如图②.M为线段AC上一动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，0），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，P是线段BC上一点，设△ABP、△APC的面积分别为S_△ABP、S_△APC，S_△ABP：S_△APC=3：2．若此时以P为圆心的圆与x轴相切，求该圆的半径；
（3）如图②，M为线段AC上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，连接OM，MN，AN，试求OM+MN+AN的最小值，并求出此时点N的坐标．

分析（1）根据待定系数法求得即可；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据S_△ABP：S_△APC=3：2求得BP：CP=3：2，过P作PP′⊥x轴于P′，则△BPP′∽△BCO，根据相似三角形对应边成比例即可求得PP′=$\frac{3}{5}$CO=$\frac{6}{5}$，得出以P为圆心，与x轴相切的圆的半径；
（3）作点O关于AC的对称点O′，OO′交AC于H，过O′作O′T⊥x轴于T．先证得△O′TO∽△AOC．得出$\frac{O′T}{OA}$=$\frac{OO′}{AC}$=$\frac{OT}{OC}$，根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式求得OH，即可求得OO′，然后根据正弦函数求得sin∠O′OT=$\frac{O′T}{OO′}$=sin∠ACO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，从而求得O′T=$\frac{4}{5}$，同理OT=$\frac{8}{5}$，即可求得O′的坐标，连接O′M，BN，由于OM=O′M，AN=BN，所以OM+MN+AN=O′M+MN+BN．可知当O′，M，N，B在一条直线上时OM+MN+AN取最小值；根据勾股定理求得O′B=$\frac{2}{5}$$\sqrt{85}$，即OM+MN+AN的最小值；根据O′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），B（2，0），求得直线O′B的解析式为：y=-$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{9}$，由A（-1，0），B（2，0），求得抛物线的对称轴x=$\frac{1}{2}$，把x=$\frac{1}{2}$代入直线O′B的解析式即可求得N的坐标．

解答解：（1）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=-x²+x+2；

（2）如图①，过A作AH⊥BC于H，S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AH，S_△APC=$\frac{1}{2}$CP•AH，
∴S_△ABP：S_△APC=BP：CP=3：2，
过P作PP′⊥x轴于P′，则△BPP′∽△BCO．
∴$\frac{PP′}{CO}$=$\frac{BP}{BC}$=$\frac{3}{5}$．
∴PP′=$\frac{3}{5}$CO=$\frac{6}{5}$．
∵以P为圆心的圆与x轴相切，
∴该圆半径=PP′=$\frac{6}{5}$，

（3）如图②，由已知A、B两点关于对称轴对称，作点O关于AC的对称点O′，OO′交AC于H，过O′作O′T⊥x轴于T．
∵OO′⊥AC，
∴∠AOH与∠OAC互余
又∵∠C与∠OAC互余，
∴∠AOH=∠C．
∵∠OTO′=∠AOC=90°，
∴△O′TO∽△AOC．
∴$\frac{O′T}{OA}$=$\frac{OO′}{AC}$=$\frac{OT}{OC}$．
∵C（0，2），A（-1，0），
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$AC•OH，
∴OO′=2OH=2×$\frac{OA•OC}{AC}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∵sin∠O′OT=$\frac{O′T}{OO′}$=sin∠ACO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴O′T=$\frac{4}{5}$，同理OT=$\frac{8}{5}$．
∴O′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
连接O′M，BN，
∵OM=O′M，AN=BN，
∴OM+MN+AN=O′M+MN+BN．
可知当O′，M，N，B在一条直线上时OM+MN+AN取最小值．
O′B=$\sqrt{O′{T}^{2}+B{T}^{2}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{85}$．
∵O′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），B（2，0），
∴直线O′B的解析式为：y=-$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{9}$，
∵A（-1，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴x=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入得，y=$\frac{1}{3}$
∴N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，正弦函数以及最短路线问题，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理和性质是解题的关键．

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