Question

如图，点C为线段AB上一动点（不与点A，B重合），在AB同侧分别作等边△ACD和等边△CBE，连结AE与BD，AE与CD交于点M，CE与BD交于点N，连结MN，则对于结论①AE=DB；②EM=BN；③△CMN是等边三角形；④MN∥AB，其中正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：由三角形ACD与三角形ECB都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ACD=∠ECB=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形DCB全等，利用全等三角形的对应边、对应角相等得到AE=DB，∠EAC=∠BDC，再利用ASA得到三角形ACM与三角形DCN全等，利用全等三角形的对应边相等得到CM=CN，可得三角形CMN为等边三角形，利用等边三角形的性质及等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到MN与AB平行，再利用SAS得到三角形ECM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等得到EM=BN，即可得到正确结论的个数．

解答：解：∵△ACD和△ECB都为等边三角形，
∴∠ACD=∠ECB=60°，DC=AC，CB=CE，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

DC=AC ∠ACE=∠DCB CB=CE

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠DCE=60°，
在△ACM和△DCN中，

∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠MNC=∠ECB=60°，
∴MN∥AB，
在△ECM和△BNC中，

EC=BC ∠ECM=∠BCN=60° MC=NC

，
∴△ECM≌△BNC（SAS），
∴EM=BN，
则其中正确的有4个，
故选D．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．