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如图,将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B落在边AD上 不与A、D重合.MN为折痕,折叠后B′C′与DN交于P.
Ⅰ连接B B′,那么B B′与MN的长度相等吗?为什么?
Ⅱ设BM=y,AB′=x,求y与x的函数关系式;
Ⅲ猜想当B点落在什么位置上时,折叠起来的梯形MN C′B′面积最小?并验证你的猜想.
考点:翻折变换(折叠问题)
专题:
分析:Ⅰ、根据折叠的性质可知,∠A=∠MRN=90°,又∵∠ABB′=∠RNM,RN=AB=1,可知△ABB′≌△RNM,继而可知BB′=MN;
Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB,根据相似三角形的性质得到求y与x的函数关系式;
Ⅲ、由Ⅱ可得到MB′和CN的表达式,继而根据梯形的面积公式求出S的表达式,利用二次函数求出S的最小值.
解答:解:Ⅰ、过点N作NR⊥AB,垂足为R,连接BB′交MN于点Q.
则由折叠知,△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称,
∴MQ⊥BB′.(4分)
在△RNM和△ABB′中,∠A=∠MRN=90°,(5分)
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM,(6分)
又∵RN=AB=1,(7分)
∴△RNM≌△ABB′,
∴BB′=MN.(8分)

Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB,
AB′
MQ
=
AB
BQ
=
BB′
MB
,(9分)
∵AB′=x,
则BB′=
1+x2
,BQ=
1
2
1+x2
,代入上式得:
BM=
1
2
(x2+1).(10分)

Ⅲ、由Ⅱ得:BM=
1
2
(x2+1),
CN=BR=BM-MR=
1
2
(x2+1)-x=
1
2
(x-1)2,(11分)
∵MB′∥NC′,
∴四边形MNC′B′是梯形,
∴S=
1
2
[
1
2
(x-1)2+
1
2
(x2+1)]×1=
1
2
(x2-x+1),(12分)
由S=
1
2
(x2-x+1)=
1
2
(x-
1
2
2+
3
8

故当x=
1
2
时,即B落在AD的中点处时,梯形面积最小,其最小值为
3
8
点评:此题考查了翻折变换,要注意翻折不变性和正方形的性质等隐含条件.题目还涉及二次函数的最值问题,综合性较强.
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