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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m),请求出△CBE的面积S的值;
(3)写出二次函数值大于一次函数值的x的取值范围;
(4)在抛物线上是否存在点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请指出一共有几个满足条件的点P,并求出其中一个点的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由.
(1)∵A(1,0),B(5,0),
设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-1)(x-5),
把C(0,5)代入得:5=a(0-1)(0-5),
解得:a=1,
∴y=(x-1)(x-5)=x2-6x+5,
答:抛物线的函数关系式是y=x2-6x+5.

(2)把x=4代入y=x2-6x+5得:y=-3,
∴E(4,-3),
把C(0,5),E(4,-3)代入y=kx+b得:
5=b
-3=
4k+b

解得:k=-2,b=5,
∴y=-2x+5,
CE交X轴于D,
当y=0时,0=-2x+5,
∴x=
5
2

∴OD=
5
2

BD=5-
5
2
=
5
2

∴△CBE的面积是:S△CBD+S△EBD=
1
2
×
5
2
×5+
1
2
×
5
2
×|-3|=10,
答:△CBE的面积S的值是10.

(3)由图象知:当x<0或x>4时,二次函数值大于一次函数值,
答:二次函数值大于一次函数值的x的取值范围是x<0或x>4.

(4)∵抛物线的顶点P(3,-4)既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,
∴点P(3,-4)为所求满足条件的点.
除P点外,在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形.
理由如下:
∵AP=BP=
22+42
=2
5
>4,
∴分别以A、B为圆心半径长为4画圆,分别与抛物线交于点B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6,除去B、A两个点外,其余6个点为满足条件的点.
练习册系列答案
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(2)设点P是直线AC上一点,且S△ABP:S△BPC=1:3,求点P的坐标;
(3)直线y=
1
2
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3

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已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点(1,0),(-3,0),(0,-
3
2
).
(1)求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象;
(2)若反比例函数y2=
2
x
(x>0)的图象与二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内交于点A(x0,y0),x0落在两个相邻的正整数之间,请你观察图象,写出这两个相邻的正整数;
(3)若反比例函数y2=
k
x
(x>0,k>0)的图象与二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内的交点A,点A的横坐标x0满足2<x0<3,试求实数k的取值范围.

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已知直线y=-
1
2
x
与抛物线y=-
1
4
x2+6
交于A、B两点,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A、B两处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A、B构成无数个三角形,这些三角形中存在一个面积最大的三角形,最大面积为(  )
A.12
6
B.
125
2
C.
125
4
D.
23
4

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