Question

9．在图中，正方形AOBD的边AO，BO在坐标轴上，若它的面积为16，点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当M到达B点时，运动停止．连接AM，过M作AM⊥MF，且满足AM=MF，连接AF交BD于E点，过F作FN⊥x轴于N，连接ME．设点M运动时间为t（s）．
（1）直接写出点D和M的坐标（可用含t式子表示）；
（2）当△MNF面积为$\frac{8}{3}$时，求t的值；
（3）△AME能否为等腰三角形？若不能请说明理由；若能，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面积可求得正方形的边长，从而可得到点D的坐标，由题意可知OM=t，且M在x轴上，故此可得到点M的坐标；
（2）先依据AAS证明△AMO≌△MFN，从而得到OM=FN，OA=MN，接下来由三角形的面积公式可求得OM的长，从而得到t得值；
（3）可分为AM=EM、AE=ME、AM=AE三种情况．其中AM=EM的情况不成立；当AE=ME时，可依据AAS证明△MEB≌△EAD，从而得到BE=AD，于是可得到M与点B重合从而求得t的值；当AM=AE时，可证明MO=MH=HE=DE，从而可求得ME=2t，MB=4-t，然后在△MBE中依据勾股定理列出关于t的方程，从而可取得t的值．

解答 解：（1）∵正方形AOBD的面积为为16，
∴正方形的边长为4，即OB=BD=4．
∴D（4，4）．
∵OM=t，点M在x轴上，
∴M（t，0）．
（2）∵AM⊥MF，
∴∠AMF=90°．
∴∠AMO+∠FMN=90°．
又∵∠OAM+∠AMO=90°，
∴∠OAM=∠FMN．
在△AMO于△MFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MOA=∠FNM}\\{∠MAO=∠FMN}\\{AM=MF}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△MFN（AAS）．
∴OM=FN，OA=MN．
∴$\frac{1}{2}$AO•OM=$\frac{1}{2}$MN•FN=$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{2}$×4×t=$\frac{8}{3}$，解得：t=$\frac{4}{3}$．
（3）①∵△AMF为等腰直角三角形，
∴MF=AM≠ME．
∴AM=EM这种情况不成立．
②当AE=ME时．
∵△AMF为等腰直角三角形，
∴∠MAE=45°．
∵AE=ME，
∴∠MAE=∠AME=45°．
∴∠AEM=90°．
∴∠AED+∠MEB=90°．
又∵∠AED+∠EAD=90°，
∴∠MEB=∠EAD．
在△MEB和△EDA中$\left\{\begin{array}{l}{∠MEB=∠EAD}\\{∠MBE=∠D}\\{ME=AE}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△EAD（AAS）．
∴BE=AD．
∴点B与点D重合，点M与点B重合．
∴t=4．
③当AM=AE时，如图所示：连接AB交ME于点H．

∵在Rt△AOM和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{AO=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOM≌△Rt△ADE．
∴DE=OM=t，∠MAO=∠DAE=22.5°．
∵四边形AOBD为正方形，
∴∠BAO=∠DAB=45°．
∴∠MAH=∠EAH=22.5°．
∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°．
∴AH⊥ME．
∴MO=MH=t，HE=DE=t．
∴ME=MH+HE=2t．
∵MB=BE=4-t，由勾股定理得：ME²=MB²+BE²，即2（4-t）²=4t²．
解得：t=4$\sqrt{2}$-4，t=-4-4$\sqrt{2}$（舍去）．
综上所述，当t=4或y=4$\sqrt{2}$-4时，△AME为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于t的方程是解题的关键．