Question

在平面直角坐标系中，直线L₁的函数关系式为y=2x-1，直线L₂过原点且L₂与直线L₁交于点P（-2，a）．
（1）试求a的值；
（2）试问（-2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解？
（3）设直线L₁与直线y=x交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看．
（4）在x轴上是否存在点Q，使得△AOQ是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点P（-2，a）在线L₁上，代入解析式，即可求得a的值；
（2）由直线L₂过原点且L₂与直线L₁交于点P（-2，a），利用待定系数法即可求得直线L₂的解析式，继而可求得答案；
（3）首先求得点A的坐标，然后由待定系数法即可求得直线AB的解析式，即可求得直线AB与y轴的交点，由S_△APO=S_△AOC+S_△POC，即可求得答案；
（4）首先利用勾股定理求得OA的长，然后分别从OA=OQ，AQ=AO，OQ=OA去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵点P（-2，a）在线L₁上，
∴2×（-2）-1=a，
解得：a=-5；

（2）设直线L₂的解析式为：y=kx+b，
∵点P（-2，-5），点O（0，0），
∴

-2k+b=-5 b=0

，
解得：

k= 5 2 b=0

，
∴直线L₂的解析式为：y=

5

2

x，
∴（-2，a）可以看作二元一次方程组：

y=2x-1 y= 5 2 x

的解；

（3）∵直线L₁与直线y=x交于点A，
∴

y=2x-1 y=x

，
解得：

x=1 y=1

，
∴点A的坐标为：（1，1），
设直线AB的解析式为：y=mx+n，交y轴于点C，
∴

m+n=1 -2m+n=-5

，
解得：

m=2 n=-1

，
∴直线AB的解析式为：y=2x-1，
∴点C的坐标为：（0，-1），
∴S_△APO=S_△AOC+S_△POC=

1

2

×1×1+

1

2

×1×2=

3

2

；

（4）存在．
∵点A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
若OQ=AQ，则点Q₁的坐标为：（1，0），
若OA=AQ，则点Q₂的坐标为：（2，0），
若OQ=OA，则点Q₃的坐标为：（

2

，0），点Q₄的坐标为：（-

2

，0），
综上可得：Q₁（1，0），Q₂（2，0），Q₃（

2

，0），Q₄（-

2

，0）．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，两直线的交点问题、二元一次方程组与一次函数的关系以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．