Question

6．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AC、BC分别相切于点D、E，MN切⊙O于点P，分别交CD、CE于点M、N，⊙O的半径为r，求Rt△CMN的周长．

Answer 1

分析 连结OD、OE，如图，根据切线的性质得OD⊥AC，OE⊥BC，易得四边形CEOD为正方形，则CD=CE=OE=r，再根据切线长定理得到MP=MD，NP=NE，然后利用等线段代换可得Rt△CMN的周长=CD+CE=2r．

解答 解：连结OD、OE，如图，
∵Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AC、BC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
而∠C=90°，
∴四边形CEOD为矩形，
而OD=OE，
∴四边形CEOD为正方形，
∴CD=CE=OE=r，
∵MN切⊙O于点P，分别交CD、CE于点M、N，
∴MP=MD，NP=NE，
∴Rt△CMN的周长=CM+CN+MN=CM+CN+PM+PN=CM+MD+CN+NE=CD+CE=r+r=2r．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了切线的性质和切线长定理．