Question

如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延长OE到点F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．

Answer 1

（1）（2）证明见解析

解：（1）如图，连接OA，

∵直径CE⊥AB，∴AD=BD=2， 。
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，∴∠BOE=∠ACB。
又∵cos∠ACB=，∴cos∠BOD=，
在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，∴x²+2²=（3x）²，解得x=。
∴OB=3x=，即⊙O的半径为。
（2）证明：∵FE=2OE，∴OF=3OE=。∴。
又∵，∴。
又∵∠BOF=∠DOB，∴△OBF∽△ODB。∴∠OBF=∠ODB=90°。
∵OB是半径，∴BF是⊙O的切线。
（1）连接OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理得AD=BD=2，，由已知利用圆周角定理可得到∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=，在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理可计算出x=，则OB=3x=。
（2）由于FE=2OE，则OF=3OE=，则，而，于是得到，根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。