Question

【题目】如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．

（1）求证：AC=BD；

（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形OFEG是正方形，理由见解析.

【解析】

（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断，再得到，从而判断AC=BD；

（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF=DF，AG=BG，则利用CD=AB得到AG=DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形；

（1）证明：∵AB=CD，

∴，

∴，即，

∴AC=BD

（2）四边形OFEG是正方形

理由如下：

如图，连接OA、OD．

∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，

∴四边形OFEG是矩形，DF＝CD，AG＝AB．

∵AB=CD，

∴DF=AG．

∵OD=OA，

∴OD=OA，

∴△OFD≌△OGA，

∴OF=OG．

∴矩形OFEG是正方形