Question

16．某数学兴趣小组将一块矩形纸片ABCD按照图中虚线裁剪，得到4块纸片（图中①②③④），又将这4块纸片重新组合，拼成了一个菱形EFGH，则矩形ABCD中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设AD=BC=AN=PC=a，MN=PQ=PN=b，由MN∥AD，得$\frac{MN}{AD}$=$\frac{CN}{AC}$，所以$\frac{b}{a}$=$\frac{a+b}{2a+b}$，求出a、b关系即可解决问题．

解答 解：如图所示：由题意设AD=BC=AN=PC=a，MN=PQ=PN=b，
∵MN∥AD，
∴$\frac{MN}{AD}$=$\frac{CN}{AC}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{a+b}{2a+b}$，
∴b²+ab-a²=0，
∴b=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$a，
∵b＞0，
∴b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{a}{2a+b}$=$\frac{a}{2a+\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
故答案为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查矩形、菱形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是寻找图中相等的线段，利用比例式探究a、b的关系，属于中考常考题型．