Question

14．关于x的一元二次方程x²+3x+m-1=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求m的值；
（3）是否存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于-1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知一元二次方程x²+3x+m-1=0有两个实数根分别为x₁和x₂，根据方程根的判别式求出m的范围．
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1，再利用已知条件得到-6+m-1+10=0，然后解一次方程即可；
（3）假设存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于-1，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，将x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1代入求出m的值，与（1）中所求m的范围比较即可求解．

解答 解：（1）∵x²+3x+m-1=0有两个实数根分别为x₁和x₂，
∴b²-4ac=3²-4（m-1）≥0，
∴m≤$\frac{13}{4}$；

（2）根据题意得：
x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1，
∵2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，
∴-6+m-1+10=0，
∴m=-3．
∵m≤$\frac{13}{4}$，
∴m=-3符合题意；

（3）假设存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于-1，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{-3}{m-1}$=-1，
解得m=4，
∵m≤$\frac{13}{4}$，
∴m=4不符合题意，
故不存在实数m使此方程的两个实数根的倒数和等于-1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．