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    对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若c=0，则方程必有一根为0；②若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③当（a+c）2≤b2时，关于x的方程ax2+bx+c=0必有实根；④若b2-5ac＞0时，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根．其中正确的结论有（ ）
    A．①②③④
    B．只有①②
    C．只有①②③
    D．只有②④
    【答案】分析：①根据此时c=0，根的判别式△=b2≥0，即可作出判断；
    ②根据此时a+c=0，根的判别式，即可作出判断；
    ③根据当（a+c）2≤b2时，将b2=（a+c）2代入即可得出判别式的值的符号，即可得出答案；
    ④根据若b2-5ac＞0，即可得出△=b2-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根．
    解答：解：①∵c=0，
    ∴△=b2≥0，
    ∴若c=0，则方程必有一根为0；故此选项正确；

    ②因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b2-4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；故此选项正确；

    ③∵（a+c）2≤b2，
    ∴当b2=（a+c）2时，
    △=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，
    ∴当（a+c）2≤b2时，关于x的方程ax2+bx+c=0必有实根；故此选项正确；

    ④当b2-5ac＞0，
    ∵b2≥0，b2＞5ac，
    ∴△=b2-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根．
    所以①②③④成立．
    故选A．
    点评：此题综合考查了根的判别式与一元二次方程，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解．
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    由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

    将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

    即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

    解得x1＝1，x2＝．

    请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

    (1)3x2－5x＋2＝0，x1＝________，x2＝________；

    (2)7x2－4x－3＝0，x1＝________，x2＝________；

    (3)13x2＋7x－20＝0，x1＝________，x2＝________；

    (4)x2－(＋1)x＋＝0，x1＝________，x2＝________；

    (5)2004x2－2003x－1＝0，x1＝________，x2＝________；

    (6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，x1＝________，x2＝________；

    (7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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    科目：初中数学 来源：三点一测丛书九年级数学上 题型：022

    有一根为1的一元二次方程

    　　对于关于x的一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

    　　由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

    　　将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

    　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

    　　解得x1＝1，x2＝．

    请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

    (1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

    x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

    (3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

    x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

    (5)2004x2－2003x2－1＝0，x1＝________；x2＝________；

    (6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，

    x1＝________，x2＝________．

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