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对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:①若c=0,则方程必有一根为0;②若a+c=0,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;③当(a+c)2≤b2时,关于x的方程ax2+bx+c=0必有实根;④若b2-5ac>0时,则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根.其中正确的结论有( )
A.①②③④
B.只有①②
C.只有①②③
D.只有②④
【答案】分析:①根据此时c=0,根的判别式△=b2≥0,即可作出判断;
②根据此时a+c=0,根的判别式,即可作出判断;
③根据当(a+c)2≤b2时,将b2=(a+c)2代入即可得出判别式的值的符号,即可得出答案;
④根据若b2-5ac>0,即可得出△=b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根.
解答:解:①∵c=0,
∴△=b2≥0,
∴若c=0,则方程必有一根为0;故此选项正确;

②因为a+c=0,a≠0,所以①a、c异号,所以△=b2-4ac>0,所以方程有两个不等的实数根;故此选项正确;

③∵(a+c)2≤b2
∴当b2=(a+c)2时,
△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,
∴当(a+c)2≤b2时,关于x的方程ax2+bx+c=0必有实根;故此选项正确;

④当b2-5ac>0,
∵b2≥0,b2>5ac,
∴△=b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根.
所以①②③④成立.
故选A.
点评:此题综合考查了根的判别式与一元二次方程,试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解.
练习册系列答案
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(1)3x2-5x+2=0,       (2)7x2-4x-3=0,

x1=________,x2=________;  x1=________,x2=________;

(3)13x2+7x-20=0,      (4)x2-(+1)x+=0,

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(5)2004x2-2003x2-1=0,x1=________;x2=________;

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