Question

如图所示，直线l₁⊥l₂，垂足为点O，A，B是直线l₁上的两点，且OB=2，AB=

2

．直线l₁绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°）．
（1）当α=60°时，在直线l₂上找点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此时OP=

 

．
（2）当α在什么范围内变化时，直线l₂上存在点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围：

 

．

Answer 1

分析：（1）以点B为圆心，AB为半径画圆，与l₂的交点即是P点．则在直角三角形OBD中，解直角三角形，即可求解．
（2）根据垂线段最短，从点B向l₂作垂线BD，交点为D，则根据特殊角的三角函数可知∠B0P的度数，即可求解．

解答：解：（1）在直线l₂上找点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，则以点B为圆心，AB为半径画圆即可．与l₂的交点就是点P．从B点作OP的高BD，则在直角三角形OBD中，解直角三角形可知：OD=

3

，所以PO=

3

-1或

3

+1．

（2）如图，作BC⊥L₂于C点．
在△PBC中，BC＜BP．
∵BP=BA=

2

，
∴BC＜

2

，
∴cos∠OBC=

CB

OB

＜

2

2

，
∴∠OBC＞45°
而α=90°时两直线重合，
∴∠OBC≠90°，
∴45°＜α＜90°；
同理当l₁旋转到l₂的左边时∠OBC＞45°，
∴α=90°+∠OBC，
而0°＜a＜135°，
∴90°＜α＜135°，
所以45°≤α＜90°或90°＜α≤135°．

点评：本题综合考查了旋转与等腰三角形的知识，注意要做等腰三角形，腰一端的为顶点画圆是最好的方法．