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    （2012•金山区一模）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

    （1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
    （2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时
    APPB
    的值；
    （3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
    分析：（1）根据等边三角形的性质得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于
    CD
    BC
    =
    CD
    PC
    ，即可得出答案；
    （2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；
    （3）由AD∥PC，PD∥BC，得出
    S△APD
    S△PDC
    =
    AD
    PC
    ，
    S△PDC
    S△BPC
    =
    PD
    BC
    ，进而得出
    S△APD
    S△PDC
    =
    S△PDC
    S△BPC
    ，以及
    S
    BD2
    =
    		3
    4
    ，即可得出比例系数．
    解答：解：（1）∵等边△APD和△BPC，
    ∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
    ∴PD∥BC，
    ∴∠DPC=∠PCB=60°，
    ∵BC⊥CD，
    ∴∠DCB=∠PDC=90°，
    ∴∠DCP=30°，
    ∴tan∠DBC=
    CD
    BC
    =
    CD
    PC
    =cos30°=
    		3
    2
    ；

    （2）由已知，CD2=DE•DB，
    即
    DE
    CD
    =
    CD
    DB
    ，
    又∵∠CDE=∠CDE，
    ∴△DCE∽△DBC，
    ∴
    DE
    CD
    =
    CD
    DB
    =
    CE
    BC
    ，
    又∵CP=BC，
    CE
    BC
    =
    CE
    CP
    ，
    ∵PD∥BC，
    ∴
    CE
    CP
    =
    BE
    BD
    ，
    ∴
    CD
    DB
    =
    CE
    CP
    =
    BE
    BD
    ，
    ∴CD=BE，
    ∴
    DE
    BE
    =
    BE
    DB
    ，即点E是线段BD的黄金分割点．
    ∴
    DE
    BE
    =
    BE
    DB
    =
    		5
    -1
    2
    ，
    又∵PC∥AD，
    ∴
    AP
    PB
    =
    DE
    BE
    =
    		5
    -1
    2
    ，

    （3）设AP=a，PB=b，
    ∴S △APD=
    		3
    4
    a2    ，S △BPC=
    		3
    4
    b2    ，
    因为AD∥PC，PD∥BC，
    ∴
    S△APD
    S△PDC
    =
    AD
    PC
    ，
    S△PDC
    S△BPC
    =
    PD
    BC
    ，
    ∴
    S△APD
    S△PDC
    =
    S△PDC
    S△BPC
    ，
    ∴S△PDC=
    		S△APD•S△BPC
    =
    		3
    4
    ab    ，
    ∴S=
    		3
    4
    (a2+ab+b2)    ，
    作DH⊥AB，
    则DH=
    		3
    2
    a    ，BH=
    1
    2
    a+b    ，
    ∴BD2=DH2+BH2=（
    		3
    2
    a）2+（
    1
    2
    a+b）2=a2+ab+b2，
    ∴
    S
    BD2
    =
    		3
    4
    ，
    ∴S与BD2成正比例，比例系数为
    		3
    4
    ．
    点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．
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