Question

6．【问题提出】
如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

Answer 1

分析 首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．
（1）首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根据∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AB=BD-AF即可．
（2）首先根据点E在线段BA的延长线上，在图③的基础上将图形补充完整，然后判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判断出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可．

解答 证明：ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，∠CEF=60°，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAF=∠CBA=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，
∵∠CAF=∠CEF=60°，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EAF}\\{∠D=∠AEF}\\{ED=EF}\end{array}\right.$（AAS）
∴△EDB≌△FEA，
∴DB=AE，BE=AF，
∵AB=AE+BE，
∴AB=DB+AF．

（1）AB=BD-AF；
延长EF、CA交于点G，

∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转的性质，可得
∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°，
在△EDB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EAF}\\{∠D=∠AEF}\\{ED=EF}\end{array}\right.$（AAS）
∴△EDB≌△FEA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB，
即AB=BD-AF．

（2）如图③，，
ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF；
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EAF}\\{∠BDE=∠AEF}\\{ED=EF}\end{array}\right.$（AAS）
∴△EDB≌△FEA，
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：
AF=AB+BD．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．