Question

6．设S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
（1）化简：$\sqrt{{S}_{n}}$（用含n的代数式表示，其中n为正整数）；
（2）设S=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{100}}$，求S的值．

Answer 1

分析 （1）利用分式的性质化简进而开平方得出即可；
（2）利用（1）中所求结合分数的运算性质化简求出即可．

解答 解：（1）$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{[n（n+1）+1]^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$；

（2）由（1）得：
S=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{100}}$
=$\frac{1×（1+1）+1}{1×（1+1）}$+$\frac{2×（2+1）+1}{2×（2+1）}$+…+$\frac{100×（100+1）+1}{100×（100+1）}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+…+$\frac{10101}{10100}$
=1+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{6}$+1+$\frac{1}{12}$+…+1+$\frac{1}{10100}$
=100+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$
=100+1-$\frac{1}{101}$
=100$\frac{100}{101}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简求值，得出数字变化规律是解题关键．