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已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是
AD
的中点,连接AD,交CE精英家教网于点P.
(1)求证:PA=PC;
(2)若tan∠CAD=
3
4
,CF=12,求AC和BC的长.
分析:(1)由垂径定理可知
AC
=
AE
,已知
AC
=
CD
,可得
AE
=
CD
,利用圆周角定理可证∠ACP=∠CAP,得出结论;
(2)由(1)可知∠CAD=∠ACF=∠B,即tan∠ACF=tan∠B=
3
4
,先解Rt△ACF求AF,利用勾股定理求AC,再解Rt△ABC求BC.
解答:(1)证明:∵AB为直径,弦CE⊥AB于F,
AC
=
AE

又∵C是
AD
的中点,
AC
=
CD

AE
=
CD

∴∠ACP=∠CAP,
∴PA=PC;

(2)∵
AC
=
AE
=
CD

∴∠CAD=∠ACF=∠B,
∴tan∠ACF=tan∠B=
3
4

在Rt△ACF中,AF=CF•tan∠ACF=9,
∴AC=
AF2+CF2
=15,
在Rt△ABC中,BC=
AC
tan∠B
=
15
3
4
=20.
点评:本题考查了垂径定理,圆周角定理,解直角三角形.关键是根据垂径定理,弧的中点得出相等的弧,得出相等的角.
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(1)请问:AB、BD、DC有何数量关系?并说明理由.
(2)如果∠B=60°,请问BD和DC有何数量关系?并说明理由.

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