Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是

AD

的中点，连接AD，交CE于点P．
（1）求证：PA=PC；
（2）若tan∠CAD=

3

4

，CF=12，求AC和BC的长．

Answer 1

分析：（1）由垂径定理可知

AC

=

AE

，已知

AC

=

CD

，可得

AE

=

CD

，利用圆周角定理可证∠ACP=∠CAP，得出结论；
（2）由（1）可知∠CAD=∠ACF=∠B，即tan∠ACF=tan∠B=

3

4

，先解Rt△ACF求AF，利用勾股定理求AC，再解Rt△ABC求BC．

解答：（1）证明：∵AB为直径，弦CE⊥AB于F，
∴

AC

=

AE

，
又∵C是

AD

的中点，
∴

AC

=

CD

，
∴

AE

=

CD

，
∴∠ACP=∠CAP，
∴PA=PC；

（2）∵

AC

=

AE

=

CD

，
∴∠CAD=∠ACF=∠B，
∴tan∠ACF=tan∠B=

3

4

，
在Rt△ACF中，AF=CF•tan∠ACF=9，
∴AC=

AF2+CF2

=15，
在Rt△ABC中，BC=

AC

tan∠B

=

15

3 4

=20．

点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形．关键是根据垂径定理，弧的中点得出相等的弧，得出相等的角．