Question

3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点．
（1）若AB=8，BC=9，AC=5，求EB的长；
（2）若∠DEF=50°，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）设BE=xcm，由于⊙O是△ABC的内切圆，则根据切线长定理得到BD=BE=x，CE=CF，AD=AF，然后利用CE=BC-BE=9-x，AD=AB-BD=8-x，又因为AC=AF+CF=5，进而可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）连接OD，OF，由切线的性质定理和四边形内角和定理即可求出∠A的度数．

解答 解：
（1）设BE=xcm，
∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∴BD=BE=x，CE=CF=BC-BE=9-x，AD=AF=AB-BD=8-x，
∵AC=5，
∴8-x+9-x=5，
∴x=6，
∴EB=6；

（2）连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，F为切点，
∴∠ADO=∠AFO=90°，
∴∠A=180°-∠DOF，
∵∠DEF=50°，
∴∠DOF=100°，
∴∠A=80°．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．