Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，解得：。
∴抛物线的解析式是y=x²﹣3x。
（2）设直线OB的解析式为y=k₁x，由点B（4，4），得：4=4k₁，解得：k₁=1。
∴直线OB的解析式为y=x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m。
∵点D在抛物线y=x²﹣3x上，∴可设D（x，x²﹣3x）。
又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x²﹣3x=x﹣m，即x²﹣4x+m=0。
∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4。
此时x₁=x₂=2，y=x²﹣3x=﹣2。
∴D点的坐标为（2，﹣2）。
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3）。
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，过点（4，4），∴4k₂+3=4，解得：k₂=。
∴直线A′B的解析式是y=。
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上。
∴设点N（n，），
又∵点N在抛物线y=x²﹣3x上，∴=n²﹣3n，解得：n₁=，n₂=4（不合题意，舍去）。
∴N点的坐标为（）。
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，

则N₁（），B₁（4，﹣4）。
∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上。
由勾股定理，得OD=，OB₁=，
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁。
∴。
∴点P₁的坐标为（）。
将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（）。
综上所述，点P的坐标是（）或（）。

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
（3）综合利用几何变换和相似关系求解：进行翻折变换，将△NOB沿x轴翻折，注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°求解。