Question

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为5角，日销售量将减少10千克，
（1）若商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）设每千克涨价x元，每天盈利额为y元，写出y与x的关系式．
（3）根据题中条件，每天盈利额是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
（2）设每千克涨价x元，每天盈利额为y元，进而表示出y与x的关系式；
（3）求最大利润，将实际问题转化为求函数最值问题，从而求出最大利润．

解答：解：（1）设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500-10×

x

0.5

）（10+x）=6000，
整理，得x²-15x+50=0，
解这个方程，得x₁=5，x₂=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元．

（2）设每千克涨价x元，每天盈利额为y元，
则y与x的关系式为：
y=（500-10×

x

0.5

）（10+x）
=-20x²+300x+5000；

（3）y=-20x²+300x+5000
=-20（x²-15x）+5000
=-20[（x²-15x+

225

4

）-

225

4

]+5000，
=-20（x-

15

2

） ²+6125，
故当x=7.5元时，每天盈利额最大，最大值为6125元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．