如图.在直角坐标系中.矩形ABCD的四个顶点在正三角形OEF的边上．已知正三角形OEF的边长为2.记AB的长为x．(1)求F点的坐标及过O.E.F三点的抛物线的解析式．(2)记点C关于直线OF的对称点为G.问x取什么值时.点G恰好落在y轴上．下.点P是过O.E.F三点的抛物线上的一个动点P.问是否存在点P.使点P.A.F.G四点构成梯形?如存在.求出点P的坐标,如不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•金华模拟）如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点在正三角形OEF的边上．已知正三角形OEF的边长为2，记AB

的长为x．
（1）求F点的坐标及过O、E、F三点的抛物线的解析式．
（2）记点C关于直线OF的对称点为G，问x取什么值时，点G恰好落在y轴上．
（3）在条件（2）下，点P是过O、E、F三点的抛物线上的一个动点P，问是否存在点P，使点P、A、F、G四点构成梯形？如存在，求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．

分析：（1）过点F作FH⊥OE于点H，根据等边三角形的性质求出HO、HF的长度，然后即可写出点F的坐标；再写出点O、E的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）方法一根据轴对称性表示出OB的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出BC的长度，得到点C的坐标，然后求出OF与y轴的夹角为30°，再根据对称性可得∠FOC=30°，从而得到OC与x轴的夹角为30°，根据30°角的正切值列式求解即可得到x的值；
方法二：先求出OF与y轴的夹角为30°，再根据轴对称性可得OC与OF的夹角为30°，然后根据等边三角形的性质可得点C是EF的中点，根据三角形的中位线定理可得CD=

OE=1，再根据矩形的对边相等即可得解；
（3）根据点C、G关于OF对称可得OG=OC，然后求出点G的坐标，在求出OA的长度得到点A的坐标，然后分①GF∥PA时，点P是抛物线与x轴的交点，即为点O、E的坐标，②GA∥PF时，先求出直线GA的解析式，再根据互相平行的两直线的解析式的k值相等求出直线PF的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；③PG∥FA时，先求出AF的解析式，再根据互相平行的两直线的解析式的k值相等求出直线PG的解析式，与抛物线解析式联立可得方程没有实数解．

解答：

解：（1）如图，过点F作FH⊥OE于点H，
∵正三角形OEF的边长为2，
∴OH=

×2=1，
FH=2•sin60°=2×

，
∴点F的坐标为F（1，

），
又由图形可得，点O（0，0），E（2，0），
设过O、E、F三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a+b+c=

c=0

4a+2b+c=0

，
解得

a=-

b=2

c=0

，
所以，抛物线的解析式y=-

x²+2

x；

（2）方法一：根据对称性可得OB=OH+

AB=1+

x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
所以，△FDC∽△FOE，
所以，

FH-BC

，
即

-BC

，
解得BC=

x，
所以，点C的坐标为（1+

x，

x），
∵△OEF是等边三角形，
∴OF与y轴的夹角为30°，
∵点C关于直线OF的对称点G恰好落在y轴上，
∴OC与OF的夹角为30°，
∴直线OC与x轴的夹角为30，
tan30°=

，
解得x=1；

方法二：∵△OEF是等边三角形，
∴OF与y轴的夹角为30°，
∵点C关于直线OF的对称点G恰好落在y轴上，
∴OC与OF的夹角为30°，
∵△OEF是等边三角形，
∴点C是EF的中点，
∴CD是△OEF的中位线，
CD=

OE=

×2=1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，即x=1；

（3）存在．
理由如下：由（2）可知，OC=2•sin60°=2×

，
∵点C、G关于OF对称，
∴OG=OC=

，
∴点G的坐标为（0，

），
由对称性可得，OA=

（OE-AB）=

（2-1）=

，
∴点A的坐标为（

，0），
①当GF∥PA 时，∵F（1，

），
∴GF∥x轴，
∴点P为抛物线与x轴的交点，
∴P₁（0，0），P₂（2，0）；
②当GA∥PF时，∵A（

，0），G（0，

），
∴直线GA的解析式为y=-2

，
∴设直线PF的解析式为y=-2

x+b，
-2

×1+b=

，
解得b=3

，
所以，直线PF的解析式为y=-2

x+3

，
联立

y=-2

x+3

y=-

x2+2

，
解得

x1=1

y1=

，

x2=3

y2=-3

所以，点P的坐标为P₃（3，-3

）；
③当PG∥AF时，A（

，0），F（1，

），
设直线AF的解析式为y=mx+n，
则

m+n=0

m+n=

，
解得

m=2

n=-

，
所以，直线AF的解析式为y=2

，
所以，设直线PG的解析式为y=2

，
联立

y=2

y=-

x2+2

整理得，x²+1=0，
方程没有实数解，
所以，点P不存在，
综上得符合条件的点有3个，P₁（0，0），P₂（2，0），P₃（3，-3

）．

点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了等边三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，梯形的两底边平行，（3）要注意根据底边的不同分情况讨论求解．

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