如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=3,∠BAC=∠DEF=90º,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G,H点,如图(2)
(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);
(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形。
解:(1)始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA;.………(2分)
(2)证得△AGC∽△HAB,. ………………………(4分)
∴AC:HB=GC:AB,即3:y=x:3,
∴y= ………………………(5分)
答:y关于x的函数关系式为y=
(3)∵∠GAH=45°,分三种情况讨论:
第一种当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时,如图(1):可得CG=x=.……(7分)
第二种当∠GAH=45°是等腰三角形的顶角时,如图(2):可得CG=3 ……………(9分)
第三种当CG=BC时,注意:DF才旋转到与BC垂直的位置,此时B,E,G重合,∠AGH=∠GAH=45°,所以△AGH为等腰三角形,所以CG=
答:当x为=、
或3时,△AGH是等腰三角形..………(10分)
解析
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