【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”.下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图.
(1)已知点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(-,0),则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为 °;
(2)若点C的坐标为(0,),点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,求直线CD的表达式;
(3)⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上.若在⊙O上存在一点M,使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标xN的取值范围.
【答案】(1)120°;(2)y=x+,或y=﹣x+.(3)﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3.
【解析】
(1)画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题;
(2)利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题;
(3)因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,推出直线MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,当直线与⊙O相切于点M时,求出直线MN的解析式,利用方程组求出点N的坐标,观察图象即可解决问题.
解:(1)如图1中,
∵A的坐标为(0,1),点B的坐标为,
∴点A,B的“相关等腰三角形”△ABC的当C(,0)或(﹣2,1),
∵tan∠BAO==,
∴∠BAO=∠CAO=60°,
∴∠BAC=∠ABC′=120°,
故答案为120.
(2)如图2中,设直线y=4交y轴于F(0,4),
∵C(0,),
∴CF=3,
∵且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,
∴∠CDF=∠CD′F=60°,
∴DF=FD′=3tan30°=3,
∴D(3,4),D′(﹣3,4),
∴直线CD的解析式为y=x+,或y=﹣x+.
(3)如图3中,
∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,
∴直线MN与x轴的夹角为45°,
可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,
当直线与⊙O相切于点M时,易知b=±2,
∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2,
由,解得或,
∴N(﹣1,3),N′(3,1),
由解得或,
∴N1(﹣3,1),N2(1,﹣3),
观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为:﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3.
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【题目】某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式.
月使用费/元 | 主叫限定时间/分钟 | 主叫超时费(元/分钟) | |
方式一 | |||
方式二 |
说明:月使用费固定收取,主叫不超过限定时间不再收费,超过部分加收超时费.例如,方式一每月固定交费元,当主叫计时不超过分钟不再额外收费,超过分钟时,超过部分每分钟加收元(不足分钟按分钟计算).
(1)请根据题意完成如表的填空:
月主叫时间分钟 | 月主叫时间分钟 | |
方式一收费/元 | ______________ | |
方式二收费/元 | _______________ |
(2)设某月主叫时间为 (分钟),方式一、方式二两种计费方式的费用分别为(元), (元),分别写出两种计费方式中主叫时间 (分钟)与费用为(元), (元)的函数关系式;
(3)请计算说明选择哪种计费方式更省钱.
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【题目】如图,在ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.
(1)求证:△ABG≌△CDE;
(2)猜一猜:四边形EFGH是什么样的特殊四边形?证明你的猜想;
(3)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.
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【题目】已知:如图,在长方形中,AB=4cm,BC=6cm,点为中点,如果点在线段上以每秒2cm的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动.设点运动时间为秒,若某一时刻△BPE与△CQP全等,求此时的值及点的运动速度.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F.
(1)求证:△ADF∽△DCE;
(2)当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长.
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【题目】河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是( )
A. 中位数是12.7% B. 众数是15.3%
C. 平均数是15.98% D. 方差是0
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【题目】如图,某风景区的沿湖公路AB=3千米,BC=4千米,CD=12千米,AD=13千米,其中AB^BC,图中阴影是草地,其余是水面.那么乘游艇游点C出发,行进速度为每小时11千米,到达对岸AD最少要用 小时.
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【题目】如图,抛物线y=(x﹣3)2与x轴交于A、B两点(点A在B的左侧),与y轴交于C点,顶点D.
(1)求点A、B、D三点的坐标;
(2)连结CD交x轴于G,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,交抛物线对称轴于E,求出E点的纵坐标;
(3)以②中点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.
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