Question

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8．
（1）当∠B=60° 时，BC=4；
（2）当其中有一个锐角为30°，动点P在直线BC上（不与点B，C重合），且∠PAC=60°，则BP的长为8$\sqrt{3}$、8或16．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，利用直角三角形的性质，根据∠B=60°，求出∠A=30°，然后根据AB=8，求出BC的长度是多少即可．
（2）根据题意，分3种情况：①当∠B=30°时；②当∠BAC=30°时，点C、P在点B的两边时；③当∠BAC=30°时，点C、P在点B的同一边时；然后应用直角三角形的性质，分类讨论，求出BP的长为多少即可．

解答 解：（1）如图1，
，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
又∵AB=8，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4．

（2）①如图2，
，
当∠B=30°时，
∵∠C=90°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
又∵∠PAC=60°，
∴BP=2AC•tan60°=8×$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

②如图3，
，
当∠BAC=30°时，
∵∠C=90°，
∴AC=$AB•cos30°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
∵∠PAC=60°，
∴CP=AC•tan60°=4$\sqrt{3}×\sqrt{3}=12$，
∴BP=CP-BC=12-4=8．

③如图4，
，
∵∠C=90°，
∴AC=$AB•cos30°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
∵∠PAC=60°，
∴CP=AC•tan60°=4$\sqrt{3}×\sqrt{3}=12$，
∴BP=CP+BC=12+4=16．
综上，可得BP的长为：4$\sqrt{3}$、8或16．
故答案为：8$\sqrt{3}$、8或16．

点评 （1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）此题还考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，要熟练掌握．