Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一点，过点C作⊙O的切线PC，直线PC交BA的延长线于点P，交BD的延长线于点E．

（1）求证：∠PCA＝∠PBC；

（2）若PC＝8，PA＝4，∠ECD＝∠PCA，以点C为圆心，半径为5作⊙C，试判断⊙C与直线BD的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）相交，理由见解析.

【解析】

（1）根据切线的性质得到∠PCO＝90°，根据余角的性质得到∠PCA＝∠BCO，由OB=OC可得∠PBC＝∠BCO，进一步即得结论；

（2）先证明△PCA∽∠PBC，再根据相似三角形的性质求得AB的长和的值，进而可由勾股定理求得AC与BC的长，然后再证明△ABC∽△CBE，根据相似三角形的性质即可求得圆心O到BD的距离，再与圆的半径比较即得结论．

解：（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠PCO＝90°，

∴∠PCA+∠ACO＝90°，

∴∠PCA＝∠BCO，

∵OC＝OB，

∴∠PBC＝∠BCO，

∴∠PCA＝∠PBC；

（2）∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，

∴△PCA∽∠PBC，

∴，即，

∴AB＝12，，

∴设AC＝k，BC＝2k，则AB＝＝12，

∴k＝，

∴AC＝，BC＝，

∵∠DCE＝∠PCA，

∴∠DCE＝∠ABC，

∵∠CDE＝∠BAC，∠BAC+∠ABC＝90°，

∴∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠CED＝90°，

∴CE⊥BD，

∴OC∥BE，

∴∠BCO＝∠CBE＝∠CBO，

∴△ABC∽△CBE，

∴，∴ ，

解得：CE＝，即圆心O到BD的距离为，

∵⊙C的半径为5，5＞，

∴⊙C与直线BD的位置关系是相交．