Question

18．如图，△ABC中，∠B=90°，点M在AB上，AM=BC，作正方形CMDE，连接AD．
（1）求证：△AMD≌△BCM．
（2）点N在BC上，CN=BM，连接AN交CM于点P，试求∠CPN的大小．
（3）在（2）的条件下，已知正方形CMDE的边长为3，AP=2PN，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据角的互余关系得出∠AMD=∠BCM，再由SAS即可证明△AMD≌△BCM；
（2）连接CD，证明四边形ANCD是平行四边形，即可得出∠CPN=∠DCM=45°；
（3）作NF⊥CM于F，设AM=a，AD=b，根据三角函数关系，求出AN，再由AN=CD以及勾股定理即可求出AM、BM，从而得出AB．

解答 （1）证明：∵四边形CMDE是正方形．
∴DM=CM，∠DMC=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，
∴∠AMD=∠BCM，
在△AMD和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=CM}&{\;}\\{∠AMD=∠BCM}&{\;}\\{AM=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BCM（SAS）；

（2）解：连接CD，如图所示：
∵四边形CMDE是正方形，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠ECM=45°，
∵△AMD≌△BCM，
∴∠DAM=∠B=90°，AD=BM，
∴AD∥BC，
∵CN=BM，
∴AD=CN，
∴四边形ANCD是平行四边形，
∴AN∥CD，
∴∠CPN=∠DCM=45°；

（3）解：设AM=a，AD=b，作NF⊥CM于F，如图所示：则CN=AD=b，BC=AM=a，
∵sin∠AMD=$\frac{b}{3}$，sin∠NCF=$\frac{FN}{b}$，∠AMD=∠NCF，
∴$\frac{FN}{b}=\frac{b}{3}$，
∴FN=$\frac{{b}^{2}}{3}$，
∵∠CPN=45°，
∴PN=$\sqrt{2}$FN=$\frac{\sqrt{2}{b}^{2}}{3}$，
∴AP=2PN=$\frac{2\sqrt{2}{b}^{2}}{3}$，
∴AN=AP+PN=$\sqrt{2}$b²，
∵四边形DMCE是正方形，
∴CD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AN=CD=3$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$b²=3$\sqrt{2}$，解得：b=$\sqrt{3}$，
∵在Rt△ADM中，AM²+AD²=DM²，即a²+b²=9，
解得：a=$\sqrt{6}$，
∴AB=AM+BM=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理、三角函数的运用、平行四边形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是（2）通过作辅助线证明平行四边形得出结果；（3）通过设未知数，根据三角函数关系和勾股定理得出方程，解方程求出结果．