Question

20．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．若点B的“-$\sqrt{3}$属派生点”A在函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上，当线段BO最短时，求B点坐标．

Answer 1

分析 设点B的坐标为（m，n），从而表示出点A的坐标（m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$m+n），由点A在函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上可得到m、n之间的关系n=$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$，然后将BO²用m的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BO最小时对应的m的值，从而求出对应的点B的坐标．

解答 解：设点B的坐标为（m，n），
∵点A是点B的“-$\sqrt{3}$属派生点”，
∴点A的坐标为（m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$m+n），
∵点A在函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上，
∴（m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$）（-$\sqrt{3}$m+n）=4$\sqrt{3}$，且m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$＜0．
整理得：（m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$）²=4．
∵m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$＜0，
∴m+$\frac{n}{-\sqrt{3}}$=-2．
∴n=$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$．
∴点B的坐标为（m，$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$）．
过点B作BH⊥OH，垂足为H，如图所示．
∵点O的坐标为（0，0），
∴OH²=（$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$）²，BH²=m²．
∴BO²=BH²+OH²
=m²+（$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$）²
=4m²+12m+12
=4（m+$\frac{3}{2}$）²+3．
∵4＞0，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，BO²最小，即BO最小．
此时n=$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴当线段BO最短时，B点坐标为：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了反比例图象上点的坐标特征以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，正确表示出B点坐标是解题关键．