Question

28、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG；否仍然成立？若成立说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，利用AAS易证△BAF≌△CAG，从而有BF=CG；
（2）先过D作DH⊥CG于点H，由于DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，易证四边形EDHG是矩形，那么DE=HG，DH∥BG，根据平行线的性质，结合AB=AC，易得∠FCD=∠GBC=∠HDC，而∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，利用AAS易证△DCH≌△CDF，从而DF=CH，那么DE+DF=GH+CH，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．证法同（2）．

解答：证明：（1）∵∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，
∴△BAF≌△CAG，
∴BF=CG；
（2）如右图（2），
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
 过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG．

点评：本题考查了全等三角形判定和性质、矩形的判定．知道有三个角是直角的四边形是矩形，解题的关键是作辅助线DH．