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    （2014•宝山区一模）如图△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm；△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）．在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）．
    （1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD=x，BE=y，请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域．
    （2）请你进一步研究如下问题：
    问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？
    问题②：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
    问题③：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
    分析：（1）在直角△ABC中，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AB=10cm；在直角△EBD中，利用勾股定理列出y与x的函数关系，由线段AB、DF的长度来确定x的取值范围；
    （2）问题①：因为∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AB=10cm，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，所以DE=4cm，连接EB，设BE∥AC，则可求证∠EBD=∠A=30°，故AD的长度可求；
    问题②：当∠EBD=22.5°时，利用三角形外角的性质求得∠BEF=22.5°，则∠EBD=∠BEF，故BF=EF=3
    		2
    ，AD=BD-BF-DF=7-3
    		2
    （cm）；
    问题③：分情况讨论：EB为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长．
    解答：解：（1）如图，连接EB．
    ∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，
    ∴AB=2BC=10cm．
    又∵在△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm，
    ∴DF=DE=3cm．
    ∴在直角△BED中，BE2=ED2+BD2=ED2+（10-AD）2，
    即y2=32+（10-x）2，
    ∴y=
    		x2-20x+109
    ．
    ∵AB=10cm，DF=3cm．
    ∴0≤AD≤7，即0≤x≤7．
    综上所述，y与x之间的函数关系式及其定义域分别是：y=
    		x2-20x+109
    （0≤x≤7）；

    （2）问题①：AD=（10-3
    		3
    ）cm时，BE∥AC．理由如下：
    设EB∥AC，则∠EBD=∠A=30°，
    ∴在Rt△EBD中，DB=3
    		3
    cm
    ∴AD=AB-BD=（10-3
    		3
    ）cm
    ∴AD=（10-3
    		3
    ）cm时，BE∥AC；
    问题②：在△DEF的移动过程中，当AD=（7-3
    		2
    ）cm时，使得∠EBD=22.5°．理由如下：
    假设∠EBD=22.5°．
    ∵在△DEF中，∠D=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，
    ∴EF=3
    		2
    cm，∠DEF=∠DFE=45°，DE=DF=3cm．
    又∵∠DFE=∠FEB+∠FBE=45°，
    ∴∠EBD=∠BEF，
    ∴BF=EF=3
    		2
    ，
    ∴AD=BD-BF-DF=7-3
    		2
    （cm）．
    ∴在△DEF的移动过程中，当AD=（7-3
    		2
    ）cm时，使得∠EBD=22.5°；
    问题③：i）当EB为斜边时．
    由AD2+BC2=EB2得，x2+52=（10-x）2+9，
    解得，x=4.2，即AD=4.2cm．
    ∵由（1）知，0≤x≤7，
    ∴AD=4.2cm符合题意；
    ii）当AD为斜边时．
    由EB2+BC2=AD2得，（10-x）2+9+52=x2，
    解得，x=6.7，即AD=6.7cm．
    ∵由（1）知，0≤x≤7，
    ∴AD=6.7cm符合题意；
    iii）当BC为斜边时，
    由AD2+EB2=BC2得，x2+（10-x）2+9=25，即x2-10x+42=0，该方程无解．
    综合i）、ii）、iii）得，当AD的长为4.2cm或6.7cm时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形．
    点评：本题把等腰三角形的判定、勾股定理和勾股定理的逆定理结合求解．综合性强，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．注意解题的方法不惟一，可让学生采用不同方法求解，培养学生的思维能力．
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    a2-1
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    的解集是
    1
    2
    ＜x＜2
    1
    2
    ＜x＜2
    ．

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