Question

已知矩形的面积a（a为大于0的常数）．
（1）设该矩形的长x，周长为y，写出y与x之间的函数表达式；
（2）用描点法画出这个函数的图象；
（3）观察图象，写出函数两条性质．
（4）当矩形的长为何值时，它的周长是最小？最小值是多少？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意求出矩形的宽，再根据矩形的面积公式得出a=x•

y-2x

2

，最后进行变形即可得出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）求出的函数关系式，描点画图即可；
（3）根据函数的图象即可得出两条不同类型的性质；
（4）把y=

2(a+x2)

x

（a＞0）通过配方变形为y=

2(x- a )2

x

+4

a

，即可得出当x=

a

时，它的周长最小，最小值是4

a

．

解答：解：（1）∵矩形的面积a，矩形的长x，周长为y，
∴矩形的宽是

y-2x

2

，
∴矩形的面积a=x•

y-2x

2

，
∴y与x之间的函数表达式是：y=

2(a+x2)

x

（a＞0）；

（2）根据（1）求出的函数关系式，描点画图如下：


（3）函数两条不同类型的性质是：
①当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；
②y=x+

1

x

=

x2+1

x

=

x2-2x+1

x

+2=

(x-1)2

x

+2，
∵x＞0，∴

(x-1)2

x

≥0，
∴x=1时，

(x-1)2

x

的最小值为0，
∴函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

（4）∵y=

2(a+x2)

x

=2×

x2+a

x

=2×

x2-2 a x+a+2 a x

x

=2×

(x- a )2+2 a x

x

=

2(x- a )2

x

+4

a

，
∴当x=

a

时，它的周长最小，最小值是4

a

；
答：该矩形的长为

a

时，它的周长最小，最小值是4

a

．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合，用到的知识点是完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键．