分析 (1)过点A作AM⊥BC于点M,交EH、FG于点N、P,设NP=m,则AM=3m,设EH=n,则BC=3n,FG=2n,根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×(n+2n)m}{\frac{1}{2}×3n×3m}$进行化简即可;
(2)①如果是任意三角形,结论成立,证明过程同(1)相同;
②如果是梯形,过点A作AM⊥BC于点M,交EH、FG于点N、P,设NP=m,则AM=3m,设EH=a,BC=b,则FG=$\frac{1}{2}$(a+b),先求出AD=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$b,再根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}[a+\frac{1}{2}(a+b)]•m}{\frac{1}{2}[(\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b)+b]•3m}$化简即可;
(3)过点A作AM⊥BC于点M,交EH、FG于点N、P.①设NP=m,则AM=5m,设EH=n,则BC=$\frac{5}{2}$n,FG=$\frac{3}{2}$n,根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×(n+\frac{3}{2}n)m}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}n•5m}$化简即可;
②设NP=m,则AM=(2n+1)m,设EH=a,根据E、F是△ABC的边AB的2n+1等分的第n、n+1的等分点,H、G是边AC的2n+1等分的第n、n+1等分点,得出BC=$\frac{a(2n+1)}{n}$,FG=$\frac{a(n+1)}{n}$,再根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[a+\frac{a(n+1)}{n}]m}{\frac{1}{2}×\frac{a(2n+1)}{n}×(2n+1)m}$进行约分即可.
解答 解:(1)如图1:过点A作AM⊥BC于点M,交EH、FG于点N、P,
设NP=m,则AM=3m,设EH=n,则BC=3n,FG=2n,
则$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×(n+2n)m}{\frac{1}{2}×3n×3m}$=$\frac{1}{3}$;
(2)①如果是任意三角形,结论成立;
②如图2;如果是梯形,结论成立,
证明:过点A作AM⊥BC于点M,交EH、FG于点N、P,
设NP=m,则AM=3m,设EH=a,BC=b,则FG=$\frac{1}{2}$(a+b),
∵EH=$\frac{1}{2}$(AD+FG),
∴a=$\frac{1}{2}$[AD+$\frac{1}{2}$(a+b)],
∴AD=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$b,
∴$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}[a+\frac{1}{2}(a+b)]•m}{\frac{1}{2}[(\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b)+b]•3m}$=$\frac{1}{3}$;
(3)如图3;过点A作AM⊥BC于点M,交EH、FG于点N、P,
①设NP=m,则AM=5m,设EH=n,则BC=$\frac{5}{2}$n,FG=$\frac{3}{2}$n,
则$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×(n+\frac{3}{2}n)m}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}n•5m}$=$\frac{1}{5}$;
②设NP=m,则AM=(2n+1)m,设EH=a,
∵E、F是△ABC的边AB的2n+1等分的第n、n+1的等分点,H、G是边AC的2n+1等分的第n、n+1等分点,
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{n}{2n+1}$,
∴BC=$\frac{a(2n+1)}{n}$,
∵$\frac{EG}{FG}$=$\frac{n}{n+1}$,
∴FG=$\frac{a(n+1)}{n}$,
∴$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[a+\frac{a(n+1)}{n}]m}{\frac{1}{2}×\frac{a(2n+1)}{n}×(2n+1)m}$=$\frac{1}{2n+1}$.
点评 此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的性质与判定、平行线分线段成比例定理、三角形梯形的面积,关键是根据题意画出图形,作出辅助线.
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