Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2$\sqrt{5}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠CBD，根据全等三角形的性质得到AO=OC，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=2，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AC⊥BD，AB=AD，
∴BO=DO，
在△AOD与△COB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠COB}\\{OB=OD}\\{∠ADB=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB，
∴AO=OC，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，
∴OC=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=2，
∵AC=4，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，菱形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．