Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

根据题意分三种情况讨论，分别作图取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG，①当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，则MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，根据Rt△HNC′中，HN2＝HC′2+NC′2，列式求解；②当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，求出GC′＝，再证明△HNC′∽△GC′M，根据，即可求出x,③，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2，由C'M＞GM，故点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意.

解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．

如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，

由题意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，

在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，

∴（3﹣x）2＝x2+12，

解得x＝．

如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，

在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，

∴GC′＝，

∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，

∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，

∴∠HNC'＝∠CGC'M，

∴△HNC′∽△GC′M，

∴，

∴，

∴x＝．

如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．

∴C'M＞GM，

此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．

综上所述，满足条件的线段CN的长为或．

故答案为：或．