Question

16．如图，正方形ACEF的边长为2，以AC为一边在同侧做等腰三角形ABC，且∠BAC=150°，BC交AE于点D，下列结论：①EF=ED；②S_△DEC=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$；③AD+CD=BD，④S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，其中正确结论的序号是②③④．

Answer 1

分析 由正方形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出∠CDE≠∠DCE，得出ED≠EC，EF≠ED，①不正确；
作CM⊥AE于M，则△CME是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出CM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\sqrt{2}$，求出DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得出△DEC的面积=$\frac{1}{2}$DE•CM=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，②正确；
在DB上截取DN=AD，连接AN，证出△ADN是等边三角形，得出AN=AD=CD，∠AND=60°，由AAS证明△ABN≌△ACD，得出BN=CD，得出AD+CD=DN+BN=BD，③正确；
作AG⊥BD于G，作∠BAH=∠ABC=15°，则AH=BH，∠AHG=30°，得出AG=$\frac{1}{2}$AH，同理：DG=$\frac{1}{2}$AD，设AG=x，则AH=BH=2x，GH=$\sqrt{3}$x，DG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求出x²=2-$\sqrt{3}$，即可求出△ABD的面积=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，④正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE=EF=2，∠FAC=∠ACE=90°，∠AEC=45°，
∵AB=AC，∠BAC=150°，
∴∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DCE=90°-15°=75°，
∴∠CDE=180°-∠AEC-∠DCE=180°-45°-75°=60°≠∠DCE，
∴ED≠EC，
∴EF≠ED，①不正确；
作CM⊥AE于M，如图所示：
则△CME是等腰直角三角形，
∴CM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\sqrt{2}$，∠MCE=45°，
∵∠DCM=90°-60°=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴△DEC的面积=$\frac{1}{2}$DE•CM=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）×$\sqrt{2}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，②正确；
在DB上截取DN=AD，连接AN，
∵∠ADN=∠CDE=60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AN=AD=CD，∠AND=60°，
∴∠ANB=120°=∠ADC，
在△ABN和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}&{\;}\\{∠ANB=∠ADC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ACD（AAS），
∴BN=CD，
∴AD+CD=DN+BN=BD，③正确；
作AG⊥BD于G，作∠BAH=∠ABC=15°，
则AH=BH，∠AHG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AH，同理：DG=$\frac{1}{2}$AD，
设AG=x，则AH=BH=2x，GH=$\sqrt{3}$x，DG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ABG中，AB=AC=2，
由勾股定理得：x²+（2x+$\sqrt{3}$x）²=2²，
解得：x²=2-$\sqrt{3}$，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$（2x+$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，④正确；
正确的序号为②③④；
故答案为：②③④．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用直角三角形的性质才能得出结果．