Question

求证：对于任意的2008个正整数a₁，a₂，…，a_2∞8总可以从中找到若干个数，使它们的和能被2008整除．

Answer 1

考点：数的整除性

专题：

分析：令s₁=a₁，s₂=a₁+a₂，s₃=a₁+a₂+a₃，…s₂₀₀₈=a₁+a₂+…+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈，假设在s₁，s₂，…，s₂₀₀₈中，如果都不能被2008整除，可以找两个数s_i和s_j（1≤i≤j≤2008），使得s_i和s_j被2008除，所得余数相同，s_j与s_i相减，消去余数r，即可得出结论．

解答：证明：令s₁=a₁，s₂=a₁+a₂，s₃=a₁+a₂+a₃，…s₂₀₀₈=a₁+a₂+…+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈，
（i）在s₁，s₂，…，s₂₀₀₈中，若有一个数能被2008整除，不妨设为2008|s_i，其中1≤i≤2008，2008|s_i=2008|（a₁+a₂+a₃+…+a_i），
（ii）在s₁，s₂，…，s₂₀₀₈中，如果都不能被2008整除，
由于s₁，s₂，…，s₂₀₀₈被2008整除，余数只可能是0，1，2，…2007中取值，
因此最少存在两个数，不妨设s_i和s_j（1≤i≤j≤2008），使得s_i和s_j被2008除，所得余数相同（余数都是r），
则s_i=2008×q+r，
s_j=2008×p+r，
s_j-s_i=2008（p-q），而s_j-s_i=a_i+1+a_i+2+…+a_j，
故任意的2008个正整数a₁，a₂，…，a₂₀₀₈，总可以从中找到若干个数，使它们的和能被2008整除．

点评：本题考查了数的整除性，解答过程运用了反推的思想，难度较大，本题还可以利用抽屉原理解答．