Question

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A和B，过A作AC⊥x轴于点C，tan∠AOC=

1

2

，AB与y轴交于点D，连接CD，S_△ACD=4，点B的横坐标为

2

3

．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．

Answer 1

分析：（1）根据S_△AOC=S_△ACD=4，得出OC=2AC，进而求出AC=2，从而有OC=4，进而得出A点坐标，求出k的值，再利用点A、B的坐标求出一次函数解析式；
（2）利用在y=-3x-10中，令x=0，得y=-10，点D的坐标为（0，-10），进而求出△ABO的面积．

解答：解：（1）设一次函数解析式为y=mx+n，反比例函数的解析式为y=

k

x

，
由图知S_△AOC=S_△ACD=4，
∴

1

2

•OC•AC=4，又tan∠AOC=

1

2

，
∴

AC

OC

=

1

2

，即OC=2AC，
∴

1

2

•2AC•AC=4，解得AC=2，从而有OC=4，
点A的坐标为（-4，2），
代入y=

k

x

得2=

k

-4

，∴k=-8，
∴反比例函数的解析式为y=-

8

x

，
∵点B的横坐标为

2

3

，将它代入y=-

8

x

得y=-12，
∴点B的坐标为：（

2

3

，-12），
将点A、B的坐标分别代入得

-4m+n=2 2 3 m+n=-12

，
解得

m=-3 n=-10

，
∴一次函数解析式y=-3x-10；

（2）在y=-3x-10中，令x=0，得y=-10，
∴点D的坐标为（0，-10），
∴OD=10，
S△AOB=S△AOD+S△BOD=

1

2

•OD•|xA|+

1

2

•OD•|xB|=

1

2

×10×4+

1

2

×10×

2

3

=

70

3

．

点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，根据已知结合图象得出图象上点的坐标是解题关键．