Question

若|b-1|+

a-4

=0，若x₁，x₂是一元二次方程kx²+ax+b=0的两个实数根且满足

1

2

(x1-x2)2-2x1x2=4，则k=

-2或1

．

Answer 1

分析：先根据几个非负数和的性质可得到a=4，b=1，则一元二次方程kx²+ax+b=0为kx²+4x+1=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

4

k

，x₁•x₂，=

1

k

，而

1

2

(x1-x2)2-2x1x2=4进行变形得到（x₁+x₂）²-8x₁•x₂，=8，这样可得到关于k的方程（-

4

k

）²-8×

1

k

=8，化为整式方程得k²+k-2=0，然后利用因式分解法可得到k的值．

解答：解：∵|b-1|+

a-4

=0，
∴b-1=0，a-4=0，
∴a=4，b=1，
∴一元二次方程kx²+ax+b=0为kx²+4x+1=0，
∴x₁+x₂=-

4

k

，x₁•x₂，=

1

k

，
∵

1

2

(x1-x2)2-2x1x2=4，
∴（x₁+x₂）²-8x₁•x₂，=8，
∴（-

4

k

）²-8×

1

k

=8，
化为整式方程得k²+k-2=0，即（k+2）（k-1）=0，
∴k₁=-2，k₂=1．
故答案为-2或1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系以及非负数的性质．