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    已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=
    25
    2
    ，O为BC上一点，BO=
    7
    2
    ，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
    （1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
    （2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；
    （3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）
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    分析：（1）OM的长是1，小于矩形的宽，也小于OB的长，所以点P只能是OM的垂直平分线与AD的交点；
    （2）OM的长是4，等于矩形的宽，所以点P可以是过O、M的垂线与AD的交点，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长，所以点P也可以在AB上；
    （3）OM的长是5，大于矩形的宽，所以点P可以在过O、M的垂线与AD的交点的两侧各一个，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长也大于MC的长，所以点P也可以在AB和CD上，共有7个．
    解答：解：（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；
    点P的坐标为（
    1
    2
    ，4）；

    （2）符合条件的等腰△OMP有4个．
    如图②，在△OP1M中，OP1=OM=4，
    在Rt△OBP1中，BO=
    7
    2
    ，精英家教网
    BP1=
    		O
    P
    2
    1
    -OB2
    =
    		42-(
    7
    2
    )    2
    =
    		15
    2
    ，
    ∴P1（-
    7
    2
    ，
    		15
    2
    ）；（5分）
    在Rt△OMP2中，OP2=OM=4，
    ∴P2（0，4）；
    在△OMP3中，MP3=OP3，
    ∴点P3在OM的垂直平分线上，
    ∵OM=4，
    ∴P3（2，4）；
    在Rt△OMP4中，OM=MP4=4，
    ∴P4（4，4）；精英家教网

    （3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个．
    点P的位置如图③所示．
    点评：根据OM的长与矩形的宽的大小确定点P的位置主要在AD边上的情况，需要注意的是当OM的长大于OB（或MC）时，点P也可以在AB（或CD）上的情况，学生容易忽视．
    练习册系列答案
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    （1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
    （2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
    （3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
    （4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

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    ．

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    （2012•德庆县一模）如图，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一点，连接EC，BC=CE，BF⊥EC于点F．
    求证：△ABE≌△FBE．

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    （1）求证：△BCF∽△CDE；
    （2）求t的取值范围；
    （3）连接BE，当t为何值时，∠BEC=∠BFC？

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