Question

【题目】如图，已知一次函数与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点．

（1）求的值和的值以及点的坐标；

（2）观察反比例函数的图像，当时，请直接写出自变量的取值范围；

（3）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；

（4）在y轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）n=3，k=12，点B的坐标为（2，0）；（2）x≤﹣4或x＞0；（3）点D的坐标为（4+，3）；（4）存在，P（0，1）．

【解析】

（1）把点A（4，n）代入一次函数中可求得n的值，从而求出一次函数的解析式，于是可得B的坐标；再把点A的坐标代入反比例函数中，可得到k的值；
（2）观察反比例函数图象即可得到当y≥-3时，自变量x的取值范围．

（3）先求出菱形的边长，然后利用平移的性质可得点D的坐标；
（4）作点B关于y轴的对称点Q,连接AQ交y轴于点P，此时的值最小，据此可解.

解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，

可得n=×4﹣3=3；

把点A（4，3）代入反比例函数，

可得3=，

解得：k=12．

∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，

∴x﹣3=0，

解得：x=2，

∴点B的坐标为（2，0），

（2）当y=﹣3时，，

解得：x=﹣4．

故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．

（3）如图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，

∵A（4，3），B（2，0），

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

在Rt△ABE中，

AB==．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD =AB=，AD∥BC，

∴点A（4，3）向右平移个单位到点D,

∴点D的坐标为（4+，3）．

（4）存在.

如图2，作点B关于y轴的对称点Q,连接AQ交y轴于点P，此时的值最小.

设直线AQ的解析式为y=kx+b,

∵点B（2，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（-2，0），

∴,

∴，

∴直线AQ的关系式为，

∴直线AQ与y轴的交点为P（0，1）．

∴在y 轴上存在点P（0，1），使的值最小.